Аналогичной фотки без крутилки нет?
Думаю отрезать перемычку контакта ГО в позиции БС, и в этом же месте установить контакт реле, которое в свою очередь будет включаться от цепи БС. Тогда при выключении зажигания ГО тоже будут гаснуть, проблема решится...